三体问题,究竟是否可解?

三体问题,究竟是否可解?

三体问题,究竟是否可解?

通过这么多年的观测和研究,人们越来越认识到,在物理世界中,稳定的现象其实是罕见的,不稳定才更常见。

今天我要讲的是“三体问题和天体运动”。大家可能都知道一本名为《三体》的小说,小说中的很多内容都涉及了三体运动的一些性质。今天我想从科学的角度讲一下三体和与之相关的一些很有趣的问题。

三体问题的由来

近代科学是从牛顿开始的。牛顿是一个非常了不起的科学家,他发现了微积分,发现了万有引力定律,奠定了牛顿力学的基础。

据说,牛顿在剑桥大学的一棵苹果树下睡午觉的时候,一个苹果掉下来砸在了他的头上,结果触发了他的灵感,让他发现了万有引力定律。当然,这只是一个传说。事实上,万有引力定律的发现,经过了牛顿之前几百年来众多科学家的共同观测和辛勤劳动,它是根據许多对太阳系行星的运动观测数据总结得来的,其中最著名的科学家应该是开普勒。

开普勒提出了“行星运动三大定律”。这三大定律又是从哪儿来的呢?是从一个叫第谷的天文学家那里得来的。

第谷这个人非常有意思,他是一位丹麦天文学家,脾气暴躁,年轻的时候跟人打架,还被人削掉了鼻子。他于是为自己做了一个金属的假鼻子,粘在自己脸上,并且一生都粘着这个假鼻子。第谷脾气不好,但是他跟国王的关系比较好,国王还专门给了他一座岛,方便他在岛上进行天文观测。第谷也是人类历史上最后一位用肉眼观测行星运动的天文学家。那时的观测任务非常艰难,不过国王给了他很多资源,甚至为他在岛上建了一家造纸厂,专供他研究需要使用的纸张。

进行天文研究工作一段时间后,新国王上位了,但新国王不喜欢第谷,第谷只好前往捷克继续他的天文学研究,因为那时捷克的国王很喜欢他。

第谷经常出入捷克王宫。不过意外的事情发生了,到达捷克后的第4年,有一天,他从王宫回来后居然死了。当时人们都在讨论为什么第谷从王宫回来就死了。虽然有人怀疑他可能是被毒死的,但更普遍的看法是,他在王宫喝了太多酒,出于作为一个贵族的礼节,他不好意思上厕所,结果憋尿憋死了。他可能是历史,上唯一一个被尿憋死的科学家。

当然,这种说法一直存在争议。所以在第谷死后300年,也就是1901年,人们把他的尸体挖了出来,想确定他是否真的是被毒死的。结果发现,第谷确实没有中毒,他真是因为憋尿导致膀胱破裂而死的。

特别倒霉的是,又过了100年,到了2001年,人们又开始争论关于第谷的另一件事——第谷因为打架让人给削了鼻子,那后来他给自己做的假鼻子是什么材料的呢?一部分人认为是金子做的,一部分人认为是银子做的。所以很不幸,第谷的尸体又被挖了出来。经过检查,他的假鼻子是铜做的。

这样一个人,真是有趣又倒霉,但就是他,奠定了万有引功定律的基础。

刚才说到,牛顿发现了微积分、牛顿力学和万有引力定律,这三个发现恰好把一个天文学问题变成了一个数学问题。为什么这么说呢?因为我们可以根据这些物理定律来精确计算行星运行的轨迹。

我毕业于南京大学天文系,但到美国后就开始做数学,其实我所做的一部分工作跟天文和数学都有关系。

大家可能知道,方程有代数方程,也有微分方程。天文学问题变成数学问题,从某种程度,上说,就是将预测天体运行变成了解组微分方程。

当然,这其中最简单的是二体问题,比如预测太阳和一个行星的运行轨迹。这时候要解的微分方程相对比较容易,人们可以把它的解写出来,而且经过简单训练的人,都可以通过微分方程得出二体问题的解。它的解是比较规范的,因为星体的运动相对规则。

但三体问题就比较复杂了,这也是我们今天要说的主题。举一个三体问题的例子,比如研究太阳和两个行星的运行轨迹,这就构成了一个三体问题。当然,也有可能是两个太阳一样的恒星外加一个行星那样的三体问题。当你看到一个三体问题的轨迹,你会发现,这三个点在空间中的运转呈现出一种非常复杂的形状,而且毫无规则。这也是三体问题非常基本的一个性质——三个天体的运动毫无规则可循。

我们的太阳系除了太阳,还有八大行星,还有冥王星这类的矮行星,还有几百万颗小行星,有的行星还有卫星,还有现在没发现的其他大行星……所以,仅太阳系这组微分方程就非常庞大、非常复杂了,远远超过三体问题,是多体问题了。我们现在连三体问题都很难解决,要解决多体问题就更难了。

三体问题是否可解

三体问题是否可解?也就是说,有没有一个可解的公式?很遗憾,一般的微分方程都不存在一个解的公式,因为我们所掌握的函数太有限,用初等方法是没有办法写出解的。

学习过微积分的人可能知道,代数方程比微分方程要简单得多。一个二次方程谁都可以解,三次方程稍微看一下书的人也可以解,四次方程可能比较复杂,但也还是可以解的。到了五次方程以后,就再也不存在初等的解了。也就是说,无法用一个公式把五次方程的解写出来。当然,这并不是说五次方程无解。五次方程肯定有五个根,也肯定是有解的,但是我们没有办法把它的解用公式的形式写出来。著名的伽罗瓦理论和阿贝尔定理,都在讲五次方程不存在一个初等形式的解。

但是在牛顿所处的时代,还是有很多人试图解微分方程,他们最想做的事就是找首次积分,也叫经典解。

解方程需要找首次积分。能量积分、角动量积分、动量积分,这都是首次积分。人们花了几百年的时间想找三体问题的其他首次积分,但非常遗憾的是,直到现在,现代数学还是证明不存在其他的首次积分。

也就是说,用这种经典的方法去解三体问题是不可能的,在经典意义下,三体问题是不可解的。这反映到实际应用中是什么意思呢?

举个例子,比如你想知道100万年以后太阳系是什么样子的,因为我写不出来公式,所以就无法告诉你答案。不过,这并不等于没有解,解还是有的,只是我写不出它的公式。当然,我们可以让计算机来算,但这涉及另一个问题一误差。这种误差短期内很小,时间越长就越大。所以,几千年、几万年、几百万年以后,到底会发生什么,用现在的计算机得出的值做解答,是不可信的。这就说明,我们没有办法预测行星运动的未来。虽然没法预测,但我们还是想知道行星运动的大概情况。比如,太阳系是不是稳定的?我们写不出解,但能否用其他数学分析方法得出太阳系是否稳定的答案呢?毕竟这对我们来说还是挺重要的。如果太阳系不稳定,地日距离就不稳定,离太阳太远地球会太冷,离太阳太近又会太热。

太阳系是稳定的吗?

牛顿(1642-1727)

不是的,行星运动是不稳定的。

上帝控制着行星运动,每隔一段时间就推一下,使其在固有的轨道上运转。

可能牛顿的脑袋给苹果砸坏了!

18世纪冲破宗教束缚后,牛顿的思想受到了科学家莱布尼茨等人的激烈批判。

小说《三体》中就描述了这样一个世界:它有3个太阳,而且运转得非常没有规律,有时候3个太阳会同时出现,过高的温度把行星上的人全都烧死了,甚至烧成另外一种生命形态。所以,我们对这类问题还是很感兴趣的。

牛顿就认为行星运动是不稳定的。他非常相信上帝,后半生一直试图用数学方法证明上帝的存在。他同时认为,太阳系不稳定,但如果有,上帝帮忙,每隔一段时间来推动一下地球,就可以解决系统紊乱的问题了。

现在的,人们很难想象,牛顿居然花了很长时间,用数学公式去推导,上帝哪天会来推地球。虽然牛顿生活在文艺复兴时期,那时大家的思想都比较开放,但牛顿的这种想法仍然受到了众多科学家的批判。

那时候,基本上所有的大科学家都想研究三体问题,因为这是一个大到没法解决的问题。每个科学家都有自己的想法,有的认为行星运动是长期稳定的,有的认为不稳定,他们都有自己的证明方法。

但是,通过这么多年的观测和研究,人们越来越认识到,在物理世界中,稳定的现象其实是罕见的,不稳定才更常见。这种不稳定现象,套用一个现代的词汇,就叫作“混沌”。

什么是混沌?

下面我要告诉大家什么是混沌,希望听完之后,你们也可以轻松地告诉其他人什么是混沌。

提到混沌,就不得不说一段有趣的历史。生活在19世纪的奥斯卡二世,是当时瑞典的国王,同时也是挪威的国王。他是一个很有意思的人,非常喜欢艺术和科学,读的数学书也很多,经常请一些科学家去为他做讲座。

在他七十大寿的前两年,有个叫米塔格·莱夫勒的数学家建议他成立一个科学大奖,在两年后国王七十大寿的宴会上颁发。这个奖就是为谁能解决三体问题而设置的。当然,我们现在知道三体问题不可解,所以这个奖其实是白设的。

很多人疑惑,为什么诺贝尔奖不设立数学奖,据说就是因为这个米塔格·莱夫勒,把诺贝尔心仪的女孩子抢走了。当然,这也只是一个坊间传闻。

前面提到,奥斯卡二世特别喜欢科学。某一天,他请巴黎大学的一个数学家来宫廷做讲座,这个数学家叫潘勒韦。潘勒韦是第84届和第92届法国总理,同时他还是一个数学家。

在为奥斯卡二世做講座的时候,潘勒韦提出了一个猜想一在几个星体通过万有引力相互作用时,其中某个星体可能会在有限时间内,被其他星体甩到无限远的地方去。潘勒韦猜想提出近100年后,我在我的博士论文里终于把这个问题给解决了。

为什么我能解决呢?其实是因为我们现在对三体或者多体的系统有了更进一步的认识,我们知道了一种叫“混沌”的结构,我就是用混沌的机理去解决潘勒韦猜想的。

回到刚才说的奥斯卡二世设置的大奖。跟潘勒韦一起参与夺奖的还有另一位数学家庞加莱。庞加莱对数学的影响也非常大。

当时,庞加莱写了一篇文章参加大奖的角逐,宣称自己解决了三体问题,于是评奖委员会将奥斯卡二世的大奖颁给了他。结果,庞加莱的一个学生很快就发现他的文章里有一个致命的错误。这就麻烦了,大奖居然颁给了发表错误文章的庞加莱。庞加莱开始意识到三体问题的复杂性,于是他重新写了一篇文章。在这篇文章里,他首次提到了混沌现象。

最后,评委会主席魏尔斯特拉斯认为,尽管庞加莱没有解决三体问题,但因为重写的新文章非常重要,所以仍然决定把大奖颁给他。

有趣的是,大奖金额约是庞加莱两个月的工资,但因为他写错了一篇文章,就必须自己重新写、重新印刷、重新发行印有文章的那期杂志,结果这一折腾,花了他4个月的工资。算下来,他还亏了两个月的工资呢。

混沌与不稳定性

什么叫混沌?我们从一个故事讲起。一位印度数学家发明了国际象棋,国王决定给他一个奖赏。数学家说很简单,我要的奖赏是:你在国际象棋棋盘的第一格上放1颗麦子,在第二格上放2颗麦子,在第三格上放4颗麦子,在第四格,上放8颗麦子…..以此类推,你只要把这个棋盘的格子都放满就行了。

国王一听,心想这很简单,不过就是几颗麦子而已。但我们来看一看,如果要满足数学家的要求,到底需要多少颗麦子呢?

国际象棋的棋盘上一共有64个格子,那就需要2”’-1颗麦子!我们换算一下,看看这些麦子一共是多少升。是140万亿升!

从人类种麦子到现在,全球生产的麦子也没有这么多。按照现在的产量,估计要再等2000年才能把这么多的麦子生产出来。

这个例子说明,经过一次次加倍,加到倍数是63次方以后,这个数字将变成一个天文数字。所以,任何数据都不能一次次加倍。比如,想要GDP每7年就增加1倍,如果真按这个速度算下去,那将是一个无法想象的数字。所以,几何级数的增长速度是特别快的。

那么这跟我们的物理系统有什么联系呢?举个例子,假如我在一个盒子里放几个空气分子,我先测量这些分子的初始位置和初始速度,并且我的测量只有很小的误差。通过观察这些分子的运动情况,你会发现,因为分子运动是非常不稳定的,所以不到1秒钟,之前的测量误差就会加倍,再隔1秒钟,误差又会加倍。我说1秒钟,其实这种加倍根本不需要1秒钟就会发生。那么在60秒后,原来的误差值就可能变成刚才你们看到的那个天文数字了。这说明一个物理系统,如果微观状态下小的误差一直在加倍,那这个误差就会对这个系统产生非常大的影响。当然,数值虽然很大,但盒子的大小限制了分子的运动,分子运动到盒子边缘后会被反弹回来,所以从整体来讲,它的误差值不会达到那个天文数字。但是从局部、从微观来讲,这个误差却可以让原来那个系统和预测的完全不一样,这就是为什么我要举这个例子的原因。

我想说明,一个混沌的动力系统,小的偏移或偏差可以导致误差以指数级形式增长,但是整体误差还在盒子的限制范围内。

所以,什么叫混沌?混沌就是在小范围、在微观状态上,误差呈指数形式增长。在数学上,这叫正的李雅普诺夫指数,这是一个数学词汇,也是今天唯一一个数学词汇。

混沌说明什么?说明将来不可预测。为什么将来不可预测?因为最开始测试的精度精确到多少都没有用,1分钟以后的系统就已经跟原来的系统完全没什么关系了。这就是一个混沌动力系统将来不可预测的原理。

这项工作的确没有完全解决原先提出的问题,然而,这项工作如此重要,它必将给整个天体力学的研究带来历史的新纪元。

——魏尔斯特拉斯

混沌系统的应用

什么样的系统是混沌系统呢?比如气象系统。大家可能听说过“蝴蝶效应”。原本天气预报说北京今天有暴风雨,但实际上并没有下雨,为什么呢?原来,两个星期前,在地球另一边的芝加哥,有一只蝴蝶突然抖动了一下翅膀,对空气产生了扰动。就是这么一个小的波动,1秒钟后可能就变成2倍大的波动,再等1秒钟,就变成4倍大的波动……两个星期后,“蝴蝶效应”影响到了北京,所以今天北京晴空万里,没有下雨。

如此说来,想要准确预告天气,就必须知道芝加哥每一只蝴蝶两个星期前都干了什么。但是,还有很多比蝴蝶大得多的物体,比如飞机、火车。这样算来,就必须把芝加哥所有物体的运动情况都弄清楚,当然,不仅芝加哥,纽约也一样。所以,不要指望看了天氣预报,你就可以淡定地安排周末去爬山,没准儿周未会突然下大雨。

但你不要怪气象局,这跟气象局关系不大,要怪就怪混沌的动力系统吧,气象系统就是一个混沌的系统。

还有很多混沌的系统,三体问题现在就被证明是一个混沌系统,这也是为什么三体是一个非常复杂的运动系统的原因。气象系统、湍流力学系统都是混沌的系统。

另外,我刚才说了,为什么我能证明潘勒韦猜想?就是因为我证明了天体运动里有一套特殊的混沌动力系统。

因为时间关系,我没法给大家解释我证明的到底是什么,如果大家感兴趣,可以去看一本名叫《天遇》的书。那是一本英文科普书,书中介绍了我的相关工作,现在有中文译本。

最后,我要讲一个混沌系统应用的例子。1991年4月,8本发射了一个名叫Hiten的月球探测器。探测器上天后,科研人员却发现燃料不够,已经无法保证探测器到达月球轨道了。于是,日本向NASA求救,NASA派了一位名叫贝尔布鲁诺的数学家来帮助日本人。贝尔布鲁诺重新设计了方案,最后终于把这个探测器重新送回到月球轨道上。

贝尔布鲁诺其实是利用有限的燃料,把探测器送到了太空中的一个混沌区域。混沌区域不是不可预测吗,那么在这个区域中,稍微用一点燃料推动一下,就会对探测器的运动产生特别大的影响。所以,只要把探测器放到一个合适的区域就会很有利;如果这个区域不合适,那就使用一点燃料稍微让探测器抖动一下。

有一天,贝尔布鲁诺突然打了一个电话给我,说是我写的一篇文章从理论上证明了哪个区域最容易产生混沌效应。他说,当时自己花了一个月的时间去设计新的轨道,假如那时就知道我的那篇文章,可能只要花几天时间就可以重新设计出轨道,把月球探测器给救下来了。

过了几年,美国休斯公司发射的一颗卫星遇到了同样的问题:卫星上天后燃料不够,无法到达预定轨道。这时,贝尔布鲁诺轻车熟路,重新设计了方案,成功地把那颗卫星送到了预定轨道上。

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